Тема уроку: Розв'язування задач.
Мета уроку: Формування вмінь учнів застосовувати властивості
паралельних площин до розв'язування задач.
Обладнання: стереометричний набір.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 29, 32.
2. Фронтальне опитування.
1) Сформулюйте властивість ліній пере¬тину двох паралельних площин тре¬тьою площиною.
2) Точка О лежить між паралельни¬ми площинами ? і ? (рис. 1а). Дві прямі a і b які проходять через точку О, перетинають площину ? в точках А1, В1, а площину ? — в точках А2 , В2. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:
а) якщо А1В1 = А2В2, то обов'язково А1В2 = А2В1;
б) прямі А1В1 і А2В2 мимобіжні;
в) прямі А1В1 і А2В2 паралельні;
г) прямі a і b лежать в одній площині
Рис. 1
3) Площини ? і ? паралельні. Мимобіжні прямі a і b перетинають площину ? в точках А1, В1 , а площину ? — в точках А2, В2 (рис. 1б). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:
а) прямі А1В2 і А2В1 перетинаються;
б) прямі А1В1 і А2В2 паралельні;
в) прямі А1В2 і А2В1 лежать в одній площині;
г) через точки А1, А2, В1, В2 можна провести площину.
4) Сформулюйте властивість паралельних відрізків, які лежать між паралельними площинами.
3. Перевірити правильність виконання учнями задач № 29,32 та відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні цих задач.
ІІ. Закріплення та осмислення знань учнів
Розв’язування задач
1. Рівні трикутники АВС і А1В1С1 розміщені в площинах ? і ? так, що прямі АА1, ВВ1, СС1 паралельні. Чи випливає з цього, що площини ? і ? паралельні?
2. Доведіть, що відрізки паралельних прямих, які лежать між площиною і паралельною їй прямою, рівні.
3. Доведіть, що два кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або їх сума дорівнює 180°.
4. Задача №35* із підручника (с.22).
Умова: Дано три паралельні площини ?1, ?2, ?3. Нехай Х1, Х2, Х3 – точки
перетину даних площин з довільною прямою. Доведіть, що відношення довжин відрізків Х1Х2 : Х2Х3 не залежить від прямої, тобто однакове для будь-яких двох прямих.
Розв’язання:
Нехай пряма а перетинає площину ?1 в точці Х1, площину ?2 - в точці Х2, площину ?3 - в точці Х3 (?1 || ?2 || ?3) (рис. 2). Нехай друга пряма ? перетинає площину ?1 в точці Y1, площину ?2 - в точці Y2, площину ?3 - в точці Y3. Проведемо пряму с через точку Х1, так що c || b. Нехай пряма с перетинає площину ?2 - в точці Z2, площину ?3 - в точці Z3. ? Х1Х2Z2 ~ ? X1X3Z3 , тоді
Х1Х2 : Х2Х3 = Х1Z2 : Z2Z3. Але Х1Z2 = Y1Y2,
Z2Z3 = Y2Y3. Тому Х1Х2 : Х2Х3 = Y1Y2 : Y2Y3. Таким чином, відношення Х1Х2 : Х2Х3 = Y1Y2 : Y2Y3 не залежить від обраної прямої, тобто
Рис. 2 однакове для будь-яких прямих.
5. Задача №36 із підручника (с.22).
Умова: Дано чотири паралельні прямі. Доведіть, що коли яка-небудь
площина перетинає ці прямі у вершинах паралелограма, то будь-яка площина, не паралельна даним прямим перетинає їх у вершинах деякого паралелограма.
Розв’язання:
Нехай ? не паралельна ?. Прямі a, b, c, d – паралельні між собою (рис. 3). Площина ? перетинає їх у вершинах паралелограма ABCD, а площина ? перетинає ці прямі у точках A1, B1, C1, D1. Доведемо, що A1B1C1D1 – паралелограм. Площини АВВ1А1 та DCC1D1 паралельні між собою, тому що AB || DC, BB1 || CC1 . Ці дві паралельні площини перетинає площина ? по прямих A1B1 та C1D1 , тому A1B1 || C1D1 . Аналогічно доводимо, що A1D1 || C1B1 . Таким чином, A1B1C1D1 – паралелограм.
Рис. 3
ІІІ. Домашнє завдання
§ 2, п. 12; контрольні запитання № 10, 114 задачі № 28, 30, 31 (с. 21).
IV. Підведення підсумку уроку
Усне розв’язування задач
1. Прямі a і b, які мають спільну точку,
перетинають три паралельні площини ?, ?, ? в точках А1, А2, А3 і В1, В2, В3 відповідно (точка А2 лежить між точками А1 і А3 , а точка В2 – між точками В1 і В3) (рис. 4). Укажіть які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
а) прямі А1В2 і А2В3 мимобіжні;
б) пряма а і точки В1 і В3 обов'язково лежать в одній площині;
в) якщо А1А2 = 25 см, В2В3 = 4 см, А2А3 + В1В2 = 20 см, то В1В3 = 14 см;
г) А1А3 : А1А2 = В1В2 : В1В3 .