Тема уроку. Розв 'язування задач.
Мета уроку: формування вмінь будувати зображення просторових фігур, використовуючи властивості паралельного проектування.
Обладнання: стереометричний набір.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Фронтальне опитування.
1) Що можна сказати про паралельну проекцію прямої на площину?
2) Що можна сказати про проекції паралельних прямих на площину?
3) Точка С ділить відрізок A? у відношенні АС:СВ = 2:3. Паралель¬ними проекціями точок Л, ?, С на площину а будуть точки Ах, Вх , Сх. У якому відношенні точка С, ділить відрізок АХВХ ?
г
4) Трикутник АХВХСХ — паралельна проекція трикутника ABC на пло¬щину а (рис. 90). Укажіть, які з наведених тверджень правильні,
а які — неправильні:
а) якщо трикутник ABC правильний, то трикутник Al?lCl обов'яз¬ково правильний;
б) трикутник ABC не може дорівнювати трикутнику АХВХСХ ;
в) якщо ВК — бісектриса трикутника ABC, то ВХКХ обов'язко¬во — бісектриса трикутника АХВХСХ ;
г) якщо ВК — медіана трикутника ABC, то ВХКХ обов'язково -медіана трикутника АХВХСХ.
5) Поясніть розв'язання задачі № 38.
6) Чотирикутник AXBXCXDX є паралельною проекцією рівнобічної тра¬пеції ABCD {AB — основа трапеції) на площину а (рис. 91). Ука¬жіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) прямі AXDX і ВХСХ можуть бути паралельними;
б) прямі АХВХ і DXCX можуть перетинатися;
в) відрізки AXDX і ВХСХ можуть бути рівними;
г) відрізки АХВХ і DXCX можуть бути рівними;
д) якщо 2 AB = З DC , то З АХВХ = 2 DXCX.
II. Закріплення та осмислення знань учнів
Формування вмінь будувати зображення фігур Зупинимося на зображенні найбільше вживаних геометричних фі¬гур, з комбінацій яких складається, як правило, зображення будь-якої складної просторової фігури.
ЗОБРАЖЕННЯ ТРИКУТНИКА
Будь-який трикутник може бути зображенням трикутника довільної форми, зокрема: правильного, рівнобедреного, прямокутного.
80
Доведення
Нехай задано трикутник ABC довільної форми і на площині проекції о: задано трикутник АХВХСХ. Завжди можна розташувати трикутник ABC і вибрати напрям проектування так, що трикутник спроектується в три¬кутник, подібний до трикутника АХВХСХ (рис. 92). Побудуємо трикутник АВ2С , який подібний до трикутника АХВЇСХ, вибравши за напрям проек¬тування пряму ВВ2І одержимо, що ААВС проектується в ААВ2С такий, що ААВ2С^ААХВХСГ
Слід зазначити, що медіани і середні лінії трикутника зображають відповідно медіанами і середніми лініями зображення.
Задача.
На зображенні рівностороннього трикутника побудуйте зображення його центра,
Р о з в ' я з а н н я
Hexan ABC (рис. 93) — дане зображення рівностороннього трикут¬ника. Центр правильного трикутника — точка перетину його медіан. Тому, побудувавши медіани АК і CM па зображенні, які перетнуться в точці О, одержимо: точка О — центр правильного трикутника ABC.
ЗОБРАЖЕННЯ ПАРАЛЕЛОГРАМА
Г1 —---------------'--------------------------------------------------«-----¦--------------------------У
Зображенням паралелограма (ирямокутіш-са, ромба, квадрата) можна вважати довільний іаралелограм, що належить площині проекцій.
Дійсно, нехай ABCD —- паралелограм, що проектують, тоді дові¬льний трикутник A,?(C, можна вважати проекцією трикутника ABC (рис. 94). Ураховуючи, що при паралельному проектуванні паралель¬ні відрізки переходять в паралельні відрізки, та провівши AXDX \\ ВХСХ і С,Д II А{В1 , одержимо A[BlCxDl — паралелограм, який є зображен¬ням паралелограма ABCD (зокрема прямокутника, ромба, квадрата).
Задача.
Побудуйте зображення ромба з кутом 120° та зображення висоти ромба, яку проведено з вершини цього кута.
81
Розв'язання
Нехай паралелограм ABCD (рис. 95) с зображенням ромба А^С^ , у якого /Д =120° (рис. 96). с
Оскільки AAXBXDX — рівносторонній, то його медіана ВХКХ є одно часио і висотою цього трикутника, а отже, і ромба.
Таким чином, побудувавши середину сторони AD і з'єднавши цю точку з вершиною Ву одержимо ВК — зображення висоти (див. рис. 95).
^ЗОБРАЖЕННЯ ТРАПЕТТТї/ Із властивості паралельного проектування випливає, що зображен¬ням трапеції є трапеція, у якій відношення довжин основ зображення дорівнює відношенню довжин основ трапеції, яку проектують.
Задача.
Побудуйте зображення рівнобічної трапеції з основами 3 і 9 см та зо-
йпа^рниЯ її ВИСОТИ.
Нехай AxBxCtDx — рівнобічна трапеція, у якій AXDX \\ВХСХ, AXDX =9 см, BJCJ = 3 см. Слід зазначити, що висота СХКХ паралельна осі симетрії MXNX (точки Мх і Nx — середини основ трапеції) (рис. 97). Але при паралельному проектуванні зберігаються паралельність прямих і відно¬шення довжин паралельних відрізків. Звідси випливає побудова: трапе¬ція ABCD, у якій AD И ВС і AD = ЗВС , є зображенням трапеції (рис. 98); побудувавши точки M і N — середини сторін ВС і AD і CK \\ MN , одер¬жимо відрізок CK — зображення висоти трапеції.
82
»ЗОБРАЖЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА/
Зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не тра¬пеції) є довільний чотирикутник.
[ ЗОБРАЖЕННЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИ КУТ НИ К A_J
Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF (рис. 99). Точка О перетину діагоналей AD і FC — його центр симетрії, тому ромби АВСО і DEFO симетричні відносно точки О. Ромб АВСО зображаємо у вигляді довільного паралелограма А1ВхСхОї (рис. 100). Для побудови останніх вершин зображення достатньо побудувати точки Д , Ех , Fx, відповідно симетричні відносно точки Ох точкам А{, В, , Сх . R С
^ЗОБРАЖЕННЯ КОЛА;
Зображенням кола з центром в точ¬ці 0{ є еліпс з центром в точці О, який належить площині проекції а . Кожний діаметр еліпса AB ділить пополам хорди MN, MXNX, M2N2..., паралельні до спря¬женого з ним діаметра CD (рис. 101).
Слід зазначити, що спряженими ді амешрами еліпса називаються зобра женпя двох перпендикулярних діаме¬трів кола, що проектується.
Розв'язування задачі № 42 із підруч¬ника (с. 22).
^ЗОБРАЖЕННЯ ТЕТРАЕДРА /
Розглядаючи тінь, що дають на екрані каркасна модель тетраедра, можна сформулювати правило його зображення. Зображенням ребер да¬ного тетраедра можуть бути сторони і діагоналі довільного опуклого (рис. 102) або неоиуклого чотирикутника ABCD (рис. 103).
1) Побудуйте проекцію Д точки D, яка є серединою відрізка АС. (2 бали)
2) Побудуйте проекцію CXFX медіани CF трикутника ABC. (2 бали)
3) Побудуйте проекцію АХКХ бісектриси АК трикутника ABC. (2 оа.чи)
4) Побудуйте проекцію середньої лінії трикутника, яка паралелі.на
стороні ВС. (2 бали)
5) Чи можна відрізок BXDX вважати проекцією висоти трикутника
ABC! (2 бали)
6) Чи можна відрізок DXKX вважати проекцією середньої лінії DK1 (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1—4) — рис. 109; 5) ні; 6) так. Варіант 2. 1—4) — рис. 110; 5) ні; 6) так.
3. Перевірка виконання математичного диктанту, заслуховування уч- І нів, які відтворювали розв'язування задач № 39, 40, та відповіді на запитання, які виникли в учнів при виконанні цих задач та на¬писанні математичного диктанту.
II. Закріплення та осмислення знань учнів Р о зв' язу ванн я задач
1. Паралелограм ABCD не має спільних точок з площиною а . Череп точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перетинають пло¬щину а відповідно в точках Ах, Вх , С, , Д.
а) Що можна сказати про площини АВВХАХ і CDDXCX ?
б) Визначте вид чотирикутника AxBlClDi.
2. Дано паралельні площини а ір. Через точку S, яка не належить жодній із них, проведено прямі а і 6, які перетинають площину
(Відповідь. 10 або 50 см.)
3. Прямі а і b перетинають три дані паралельні площини в точках Ах, А2, А3 і В,, В2 > В;і відповідно (точка А2 лежить між точками А,
86
і Ау, а точка В2 — між точками В! і В3 ). Відомо, що АХА2 =12 см, В2Вг - 27 см і А2Ап = В{В2. Знайдіть довжину відрізків АХА3 і ВХВЛ. (Відповідь. А{А.л = 30 см, В,В3 = 45 см.)
Три паралельні площини перетинають дві мимобіжні прямі в точ¬ках Ах , А2 , А3 і В, , В2, В3 відповідно (точка А, лежить між точками Ах і А3 , точка В2 — між точками В{ і В3 ). Відомо, що А2А.Л = 8 см, BjB2 = 18 см і AjA2 + В2В3 = 24 см. Знайдіть довжини
відрізків A,Aj і ВхВ:і .
(Відповідь. А1А3 = 20 см, ВХВ.Л = ЗО см.)
5. Задача № 21- із підручника (с. 20).
6. Задача № 34*' із підручника (с. 21).
lit. Домашнє завдання
Задачі № 26, 41 (с. 20, 22). Підготувати¬ся до тематичної атестації № 2.
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1. Прямі а і 6, які перетинаються, перетина¬ють три дані паралельні площини а, ?, у в точках Ар А2, А3 і Вр В2, В3 відповідно (рис. 111). Визначте, які з поданих твер¬джень правильні, а які — неправильні:
а) прямі А2В2 і А.ЛВ.6 мимобіжні;
б) прямі AjB8 і A3Bj мимобіжні;
в) пряма b і точки А,, А2 обов'язково лежать в одній площині;
г) АхА:і:АхА2 = ВХВ2:В{В.Л\
д) АЛА.2\В,В2^АХА^:ВХВ.,.
2. Три паралельні площини а, ?, у перети¬нають дві дані мимобіжні прямі а і b в точ¬ках А,, Л2, А;{ і В,, В2, В3 відповідно (рис. 112). Укажіть, які з наведених тверд¬жень правильні, а які — неправильні:
а) прямі АІВ.І і В^А.Л перетинаються;
б) якщо А2АЛ -І см, В,В2 = 4 см, ДА2 - В2В.Л, то В{В.Л = 5 см;
в) прямі А2В2 і А:іВ:і можуть бути па¬ралельними;
г) АХА.Л:В{В, = А2ЛЯ:Д2В3.