Тема уроку: Розв'язування задач.
Мета уроку: Формування вмінь будувати зображення просторових фігур,
використовуючи властивості паралельного проектування.
Обладнання: стереометричний набір.
І. Перевірка домашнього завдання
Фронтальне опитування.
1) Що можна сказати про паралельну проекцію прямої на площину?
2) Що можна сказати про проекції паралельних прямих на площину?
3) Точка С ділить відрізок AВ у відношенні АС:СВ = 2:3. Паралель¬ними проекціями точок А, В, С на площину a будуть точки А1, В1 , С1. У якому відношенні точка С1, ділить відрізок А1В1 ?
4) Трикутник А1В1С1 — паралельна проекція трикутника ABC на пло¬щину a (рис. 1).
Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) якщо трикутник ABC правильний, то трикутник AlВlCl обов'яз¬ково правильний;
б) трикутник ABC не може дорівнювати трикутнику А1В1С1 ;
в) якщо ВК — бісектриса трикутника ABC, то В1К1 обов'язко¬во — бісектриса трикутника А1В1С1 ;
г) якщо ВК — медіана трикутника ABC, то В1К1 обов'язково - медіана трикутника А1В1С1.
5) Поясніть розв'язання задачі № 38.
6) Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією рівнобічної тра¬пеції ABCD (AB — основа трапеції) на площину a (рис. 2). Ука¬жіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:
а) прямі A1D1 і В1С1 можуть бути паралельними;
б) прямі А1В1 і D1C1 можуть перетинатися;
в) відрізки A1D1 і В1С1 можуть бути рівними;
г) відрізки А1В1 і D1C1 можуть бути рівними;
д) якщо 2 AB = З DC , то З А1В1 = 2 D1C1.
Рис.1 Рис.2 Рис.3
II. Закріплення та осмислення знань учнів
Формування вмінь будувати зображення фігур
Зупинимося на зображенні найбільше вживаних геометричних фі¬гур, з комбінацій яких складається, як правило, зображення будь-якої складної просторової фігури.
ЗОБРАЖЕННЯ ТРИКУТНИКА
Будь-який трикутник може бути зображенням трикутника довільної форми, зокрема: правильного, рівнобедреного, прямокутного.
Доведення
Нехай задано трикутник ABC довільної форми і на площині проекції a: задано трикутник А1В1С1. Завжди можна розташувати трикутник ABC і вибрати напрям проектування так, що трикутник спроектується в три¬кутник, подібний до трикутника А1В1С1 (рис. 3). Побудуємо трикутник АВ2С , який подібний до трикутника А1В1С1, вибравши за напрям проек¬тування пряму ВВ2, ,одержимо, що ? АВС проектується в ? АВ2С такий, що ? АВ2С ~ ? А1В1С1
Слід зазначити, що медіани і середні лінії трикутника зображають відповідно медіанами і середніми лініями зображення.
Задача.
На зображенні рівностороннього трикутника побудуйте зображення його центра,
Р о з в ' я з а н н я
Нехай ABC (рис. 4) — дане зображення рівностороннього трикут¬ника. Центр правильного трикутника — точка перетину його медіан. Тому, побудувавши медіани АК і CM па зображенні, які перетнуться в точці О, одержимо: точка О — центр правильного трикутника ABC.
ЗОБРАЖЕННЯ ПАРАЛЕЛОГРАМА
Зображенням паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата) можна вважати довільний паралелограма, що належить площині проекцій.
Рис. 4 Рис. 5
Дійсно, нехай ABCD —- паралелограм, що проектують, тоді дові¬льний трикутник A1В1C1 можна вважати проекцією трикутника ABC (рис. 5). Ураховуючи, що при паралельному проектуванні паралель¬ні відрізки переходять в паралельні відрізки, та провівши A1D1 || В1С1 і С1D1 || А1В1 , одержимо A1B1C1D1 - паралелограм, який є зображен¬ням паралелограма ABCD (зокрема прямокутника, ромба, квадрата).
Задача.
Побудуйте зображення ромба з кутом 120° та зображення висоти ромба, яку проведено з вершини цього кута.
Розв'язання
Нехай паралелограм ABCD (рис. 6) с зображенням ромба A1B1C1D1, у якого D =120° (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
Оскільки ?A1B1D1 — рівносторонній, то його медіана В1К1 є одночасно і висотою цього трикутника, а отже, і ромба.
Таким чином, побудувавши середину сторони AD і з'єднавши цю точку з вершиною В1 одержимо ВК — зображення висоти (див. рис. 6).
ЗОБРАЖЕННЯ ТРАПЕЦІЇ
Із властивості паралельного проектування випливає, що зображен¬ням трапеції є трапеція, у якій відношення довжин основ зображення дорівнює відношенню довжин основ трапеції, яку проектують.
Задача.
Побудуйте зображення рівнобічної трапеції з основами 3 і 9 см та зображення її висоти.
Рис. 8 Рис. 9
Розв'язання
Нехай A1B1C1D1 — рівнобічна трапеція, у якій A1D1 || В1С1, A1D1 =9 см, B1C1= 3 см. Слід зазначити, що висота С1К1 паралельна осі симетрії M1N1 (точки М1 і N1 — середини основ трапеції) (рис. 8). Але при паралельному проектуванні зберігаються паралельність прямих і відно¬шення довжин паралельних відрізків. Звідси випливає побудова: трапе¬ція ABCD, у якій AD || ВС і AD = ЗВС , є зображенням трапеції (рис. 9); побудувавши точки M і N — середини сторін ВС і AD і CK || MN , одер¬жимо відрізок CK — зображення висоти трапеції.
ЗОБРАЖЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА
Зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не тра¬пеції) є довільний чотирикутник.
ЗОБРАЖЕННЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИКУТНИКА
Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF (рис. 10). Точка О перетину діагоналей AD і FC — його центр симетрії, тому ромби АВСО і DEFO симетричні відносно точки О. Ромб АВСО зображаємо у вигляді довільного паралелограма А1В1С1О1 (рис. 11). Для побудови останніх вершин зображення достатньо побудувати точки Д1, Е1 , F1, відповідно симетричні відносно точки О1 точкам А1, В1 , С1.
Рис. 10 Рис. 11
ЗОБРАЖЕННЯ КОЛА
Зображенням кола з центром в точ¬ці O1 є еліпс з центром в точці О, який належить площині проекції a . Кожний діаметр еліпса AB ділить пополам хорди MN, M1N1, M2N2..., паралельні до спря¬женого з ним діаметра CD (рис. 12).
Слід зазначити, що спряженими ді амешрами еліпса називаються зобра женпя двох перпендикулярних діаме¬трів кола, що проектується.
Розв'язування задачі № 42 із підруч¬ника (с. 22). Рис. 12
ЗОБРАЖЕННЯ ТЕТРАЕДРА
Розглядаючи тінь, що дають на екрані каркасна модель тетраедра, можна сформулювати правило його зображення. Зображенням ребер да¬ного тетраедра можуть бути сторони і діагоналі довільного опуклого (рис. 13) або неопуклого чотирикутника ABCD (рис. 14).
Рис. 13 Рис. 14
ЗОБРАЖЕННЯ ПРЯМОКУТНОГО ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА
Нехай задано прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1C1D1 . Виберемо три його ребра АВ, AD і AA1, що мають спільний початок (рис. 15). Розглянемо тетраедр А1АВD. Користуючись правилом зображення тетраедра, приходимо до висновку, що ребра АВ, AD і AA1 можна зобразити у вигляді трьох довільних відрізків, що виходять із однієї точки (рис. 16). Останні його ребра слід зобразити визначеними відрізками, кожний із них паралельний одному з побудованих відрізків і дорівнює йому по довжині (рис 17).
Рис. 15 Рис. 16 Рис. 17
ІІІ. Домашнє завдання
§ 2, п. 13; контрольне запитання № 12; задачі № 39, 40 (с. 22)
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1. Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією трапеції ABCD (AD – основа трапеції) на деяку площину. Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які – неправильні:
а) чотирикутник A1B1C1D1 є трапецією з основою C1D1;
б) чотирикутник A1B1C1D1 може бути ромбом;
в) чотирикутник A1B1C1D1 є трапецією з основою А1D1;
г) чотирикутник A1B1C1D1 є трапецією з основою В1D1;
д) якщо ВС = 5 AD, то 5B1C1 = А1D1.
2. Чотирикутник A1B1C1D1 є паралельною проекцією прямокутника ABCD на деяку площину. Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які – неправильні:
а) в чотирикутнику A1B1C1D1 є паралельні сторони;
б) в чотирикутнику A1B1C1D1 обов’язково є рівні сторони;
в) чотирикутник A1B1C1D1 може бути трапецією;
г) діагоналі чотирикутника A1B1C1D1 точкою перетину діляться пополам;
д) діагоналі чотирикутника A1B1C1D1 обов’язково рівні.
1) Побудуйте проекцію Д точки D, яка є серединою відрізка АС. (2 бали)
2) Побудуйте проекцію CXFX медіани CF трикутника ABC. (2 бали)
3) Побудуйте проекцію АХКХ бісектриси АК трикутника ABC. (2 оа.чи)
4) Побудуйте проекцію середньої лінії трикутника, яка паралелі.на
стороні ВС. (2 бали)
5) Чи можна відрізок BXDX вважати проекцією висоти трикутника
ABC! (2 бали)
6) Чи можна відрізок DXKX вважати проекцією середньої лінії DK1 (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1—4) — рис. 109; 5) ні; 6) так. Варіант 2. 1—4) — рис. 110; 5) ні; 6) так.
3. Перевірка виконання математичного диктанту, заслуховування уч- І нів, які відтворювали розв'язування задач № 39, 40, та відповіді на запитання, які виникли в учнів при виконанні цих задач та на¬писанні математичного диктанту.
II. Закріплення та осмислення знань учнів
Р о зв' язу ванн я задач
1. Паралелограм ABCD не має спільних точок з площиною а . Череп точки А, В, С, D проведено паралельні прямі, які перетинають пло¬щину а відповідно в точках Ах, Вх , С, , Д.
а) Що можна сказати про площини АВВХАХ і CDDXCX ?
б) Визначте вид чотирикутника AxBlClDi.
2. Дано паралельні площини а ір. Через точку S, яка не належить жодній із них, проведено прямі а і 6, які перетинають площину
(Відповідь. 10 або 50 см.)
3. Прямі а і b перетинають три дані паралельні площини в точках Ах, А2, А3 і В,, В2 > В;і відповідно (точка А2 лежить між точками А,
86
і Ау, а точка В2 — між точками В! і В3 ). Відомо, що АХА2 =12 см, В2Вг - 27 см і А2Ап = В{В2. Знайдіть довжину відрізків АХА3 і ВХВЛ. (Відповідь. А{А.л = 30 см, В,В3 = 45 см.)
Три паралельні площини перетинають дві мимобіжні прямі в точ¬ках Ах , А2 , А3 і В, , В2, В3 відповідно (точка А, лежить між точками Ах і А3 , точка В2 — між точками В{ і В3 ). Відомо, що А2А.Л = 8 см, BjB2 = 18 см і AjA2 + В2В3 = 24 см. Знайдіть довжини
відрізків A,Aj і ВхВ:і .
(Відповідь. А1А3 = 20 см, ВХВ.Л = ЗО см.)
5. Задача № 21- із підручника (с. 20).
6. Задача № 34*' із підручника (с. 21).
ІІІ. Домашнє завдання
Задачі № 26, 41 (с. 20, 22). Підготувати¬ся до тематичної атестації № 2.
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1. Прямі а і 6, які перетинаються, перетина¬ють три дані паралельні площини а, ?, у в точках Ар А2, А3 і Вр В2, В3 відповідно (рис. 111). Визначте, які з поданих твер¬джень правильні, а які — неправильні:
а) прямі А2В2 і А.ЛВ.6 мимобіжні;
б) прямі AjB8 і A3Bj мимобіжні;
в) пряма b і точки А,, А2 обов'язково лежать в одній площині;
г) АхА:і:АхА2 = ВХВ2:В{В.Л\
д) АЛА.2\В,В2^АХА^:ВХВ.,.
2. Три паралельні площини а, ?, у перети¬нають дві дані мимобіжні прямі а і b в точ¬ках А,, Л2, А;{ і В,, В2, В3 відповідно (рис. 112). Укажіть, які з наведених тверд¬жень правильні, а які — неправильні:
а) прямі АІВ.І і В^А.Л перетинаються;
б) якщо А2АЛ -І см, В,В2 = 4 см, ДА2 - В2В.Л, то В{В.Л = 5 см;
в) прямі А2В2 і А:іВ:і можуть бути па¬ралельними;
г) АХА.Л:В{В, = А2ЛЯ:Д2В3.